Euler formula
指数函数与欧拉公式 - 作业部落 Cmd Markdown 编辑阅读器
# E 的起源
指数函数是指 $e^x$。到底这个函数是怎么想出来的？为什么会等于那么一大堆无穷的级数和？是偶然还是必然？是发明还是发现？
在没有 $e^x$ 这个函数之前，也许，数学家是想找一个函数，它的一阶导数刚好是函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度，那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。我猜，欧拉等人很早就发现了这样的函数，比如：
$f_1(x) = 1 + x + 1/2* x^2 + 1/3! * x^3 + … + 1/n!*x^n + …$
稍微做一下求导，就发现，$f’(x) = f(x)$。对 $f(x)$ 求导，1 没了，x 变成 1 , $1/2 * x^2*$ 变成 x … 所以，这个 $f(x)$ 就是我们想要的那个函数，给一个名字，就叫 $e^x$。并且我们知道 $(e^x)’ = e^x$。
似乎之前的表达是说，我们想要一个函数，刚好，很容易我们就发现了这个函数，happy ending。如果数学家们满足于这个状况，也许就不会出现下面这些内容了。
# 通用函数
如果我们不仅仅满足于找到这么样一个函数，通过这个公式进一步问：是不是所有的曲线（函数）都可以表示成 $x^k$ 的累加 ($k \in [0..n]$)？即，是否所有的函数都会有这样的形状？
$f_2(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + … + a_nx^n + …$
找到这个有什么用呢？如果有这个函数，并且它的 n 阶导数
我们要找的是