• 格:设 ⟨S, ⪯⟩ 是偏序集。如果 ∀x, y ∈ S,{x, y} 都有 最小上界最大下界,则称 S 关于偏序 ⪯ 作成一个格;

    • 把求 {x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧。
    • 偏序关系: 自反的,反对称的,传递的;
    • 偏序关系的哈斯图。
    • 对偶命题:=,⪯,⪰,∨,∧ -> =,⪰,⪯,∧,∨ 同样成立。
    • 交换律:a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a
    • 结合律:(a∨b)∨c = a∨(b∨c),(a∧b)∧c = a∧(b∧c)
    • 幂等率:a ∨ a = a, a ∧ a = a
    • 吸收律:a∨(a∧b) = a,a∧(a∨b) = a
    • a⪯b⇔a∧b=a⇔a∨b=b
    • 若 a ⪯ b 且 c ⪯ d,则 a ∧ c ⪯ b ∧ d, a ∨ c ⪯ b ∨ d
    • a∨(b∧c) ⪯ (a∨b)∧(a∨c)
  • 子格:设⟨L,∧,∨⟩是格,S 是 L 的非空子集。若 S 关于 L 中的运 算∧和∨仍构成格,则称 S 是 L 的子格。

  • 分配格:a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) , a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)

    • 判定:设 L 是格。L 是分配格当且仅当 L 不含有与钻石格或五角格同构的子格。(画哈斯图)
    • 小于 5 元的格都是分配格;
    • 任何一条链都是分配格。
  • 有界格:设 L 是格,若 L 存在全下界和全上界,则称 L 为有界格, 一般将有界格记为 ⟨L, ∧, ∨, 0, 1⟩。

    • 全上界:若存在 b ∈ L 使得∀x ∈ L 有 x ⪯ b,则称 b 为 L 的全上界;
    • 全下界:若存在 a ∈ L 使得∀x ∈ L 有 a ⪯ x,则称 a 为 L 的全下界;
    • 若格 L 存在全下界或全上界,一定是唯一的;
    • 一般将格的全下界记为 0,全上界记为 1。
    • a ∧ 0 = 0, a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a, a ∨ 1 = 1
    • a1 ∧a2 ∧···∧an 是 L 的全下界,a1 ∨a2 ∨···∨an 是 L 的全上界;
    • 0 是∧运算的零元,∨运算的单位元;
    • 1 是∨运算的零元,∧运算的单位元;
    • 补元:对 , 若存在 , a ∧ b = 0 和 a ∨ b = 1 成立,则称 b 是 a 的补元。
      • 有界分配格下存在补元即为唯一补元
      • 有补格:设 ⟨L, ∧, ∨, 0, 1⟩ 是有界格,若 L 中 所有 的元素都有补元存在,则称 L 为有补格。
  • 布尔代数:如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数。 布尔代数记为 ⟨B, ∧, ∨,′ , 0, 1⟩,其中 ′ 为求补运算。

    • ∀a ∈ B,(a′)′ = a;
    • ∀a,b ∈ B,(a∧b)′ = a′ ∨b′,(a∨b)′ = a′ ∧b′。
    • (1) 交换律:∀a,b ∈ B,有 a∗b = b∗a,a◦b = b◦a;
    • (2) 分配律:∀a,b,c ∈ B 有 a∗(b◦c) = (a∗b)◦(a∗c),a◦(b∗c) = (a◦b)∗(a◦c);
    • (3) 同一律: 存在 0,1 ∈ B,使得∀a ∈ B 有 a∗1 = a,a ◦ 0 = a;
    • (4) 补元律:∀a ∈ B,存在 a′ ∈ B 使得 a∗a′ = 0,a◦a′ = 1,则 ⟨B, ∗, ◦⟩ 是一个布尔代数。
    • 原子 a:L 是格,0 ∈ L,若∀b ∈ L 有 0 ≺ b ⪯ a ⇒ b = a, 原子是覆盖最小元的那些元素
    • 有限布尔代数的表示定理: 设 B 是有限布尔代数,A 是 B 的全体原子构成的集合,则 B 同构于 A 的幂集 代数 P(A);
  • 集合代数:设 B 为任意集合。B 的幂集格 ⟨P(B), ∩, ∪, ∼, ∅, B⟩ 构成布尔代数,称为集合代数。

  • 完全格:格的每个非空子集均有上下确界,则成为完全格。

  • 有界格:若格<L, ≤>有最小元 0 和最小元 1(不记得了的话往上翻), 则成为有界格, 记作<L, ≤, 0, 1>, 完全格必然有最小元和最大元。

  • 补元:有界格<L, ≤, 0, 1>中, 对任意元素 a∈L, 若存在 b∈L, 并且 a∧b = 0, a∨b = 1, 则称 b 是 a 的补元,补元不一定唯一。

  • 有补格:有界格中,每一个元素 都有补元,则称为有补格。

  • 布尔代数的一种定义:如果一个格是 有补分配格,那么称为布尔代数。