Cyclic Groups

$S=\{g,g^2,\cdots ,g^i,\cdots \}$
Set $<g>=\{g^k:k\in Z\}$ is a subgroup of G, <g> is a subgroup, g is the generator

Properties

• 任取正整数 n, 设 G = <g> 是阶为 n 的循环群,则 $g^k=e$ 当且仅当 n 整除 k。
• 设群 G = <g> 是阶为 n 的循环群。 如果 $h=g^k$, 则 h 的阶为 n/d, 其中 d = gcd(k, n)。
  • 设群 G = <g> 是阶为 n 的循环群,则群 G 中恰有 φ(n) 个生成元。
  • 设群 G = <g> 是阶为 p 的循环群,p 是素数,则 G 中的元素除了 e 之外都是生成元。
• 循环群 $G=<g>$ 的每一个子群都是循环群。
• 所有的循环群都是阿贝尔群。

已知 2 是群 Z∗11 的生成元, 群 Z∗11 的阶是 10, 2^3= 8, 且 gcd(3, 10) = 1, 所以 8 的阶是 10, 即 8 也是一个 生成元。 5 不是 生成元, 因为 5 = 2^4 mod 11, gcd(4, 10) = 2。
$g^k$ 的阶是 $\frac{n}{gcd(n,k)}$
这告诉我们,在知道某个元是生成元时,如何找到另一个生成元