Euler formula

指数函数与欧拉公式 - 作业部落 Cmd Markdown 编辑阅读器

E 的起源

指数函数是指 $e^x$。到底这个函数是怎么想出来的？为什么会等于那么一大堆无穷的级数和？是偶然还是必然？是发明还是发现？

在没有 $e^x$ 这个函数之前，也许，数学家是想找一个函数，它的一阶导数刚好是函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度，那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。我猜，欧拉等人很早就发现了这样的函数，比如：

$f_1(x)=1+x+1/2\ast x^2+1/3!\ast x^3+...+1/n!\ast x^n+...$

稍微做一下求导，就发现，$f^{\prime }(x)=f(x)$。对 $f(x)$ 求导，1 没了，x 变成 1 , $1/2\ast x^2\ast$ 变成 x … 所以，这个 $f(x)$ 就是我们想要的那个函数，给一个名字，就叫 $e^x$。并且我们知道 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$。

似乎之前的表达是说，我们想要一个函数，刚好，很容易我们就发现了这个函数，happy ending。如果数学家们满足于这个状况，也许就不会出现下面这些内容了。

通用函数

如果我们不仅仅满足于找到这么样一个函数，通过这个公式进一步问：是不是所有的曲线（函数）都可以表示成 $x^k$ 的累加 ($k\in [\mathrm{0..}n]$)？即，是否所有的函数都会有这样的形状？

$f_2(x)=a_0+a_1\ast x+a_2\ast x^2+a_3\ast x^3+...+a_n\ast x^n+...$

找到这个有什么用呢？如果有这个函数，并且它的 n 阶导数
我们要找的是

• Integer Polynomial
• Transcendental Number