Ring

Ring

Discrete Math Algebra

• 加法：Abel，单位元 0，负元 -x

• 乘法：结合律，单位元 (If Any) 1，逆元 $x^{-1}$，

• 加法乘法间满足分配律

• 满足交换律为 交换环，

• 存在单位元为 含幺环

• 无零因子环：$\forall a,b\in R$, $ab=0\to a=0$ or $b=0$

• 整环：既是交换环，含幺环，又是无零因子环

• 域：是整环，至少两个元素，除 0 外都有逆

Properties

1. $a0=0a=0$
2. $a(-b)=(-a)b=-ab$
3. $(-a)(-b)=ab$

重点：有分配率

Integral Domain

Definition

给定一个环 R，对任意元素 a ∈ R，如果存在元素 b ∈ R 使得 b != 0 且 a ∗ b = 0，则称 a 为一个 零因子 (zero divisor)。
如果交换环 R 中没有除 0 以外的零因子，即 ∀a, b ∈ R，如果 ab = 0 有 a = 0 或 b = 0，则称 R 为整环。

Subring

• Same as Subgroups

Definition

给定环 R，R′ 是 R 的子集，如果 R′ 在环 R 的加法和乘法上也形成环，则称 R′ 是 R 的子环，记为 R′ ⊂ R。

Isomorphism

Ideal

给定环 R，I 是 R 的 子环，如果对任意的 r ∈ R 有 rI ⊂ I 和 Ir ⊂ I，则称 I 是 R 的理想。

Normal Subgroups in ring.

1. 所有的环 R 都有两个平凡理想:{0} 和 R。

Principal Ideal 主理想

Cyclic Groups

1. 对任意环 R，只包含一个元素 0 的主理想 ⟨0⟩ 称为零理想。
2. 对任意带单位元的环 R，称 ⟨1⟩ 为单位理想，显然 R = ⟨1⟩。
3. 对任意整数 n，集合 nZ 是整数环 Z 的理想，也是主理想， nZ = ⟨n⟩。

商环