CH9
- 交换律
- 结合律
- 消去律：消去非零元
- 吸收律：x◦(x∗y) = x 且 x∗(x◦y) = x
- 分配律：(x∗y)◦z = (x◦z)∗(y◦z) 且 z◦(x∗y) = (z◦x)∗(z◦y)
- 幂等律：xx=x
- 幺元：单位元
- 代数系统：非空集合 S 和 S 上的 k 个一元或二元运算 f1,f2,…,fk 组 成的系统称为代数系统，简称代数，记为 ⟨S, f1, f2, … , fk⟩。
- 子代数：
- B ⊆ S，
- B 对 f1,f2,…,fk 都是封闭的，
- B 和 S 含有相同的代数常数。
- 即证明: 运算封闭，代数常数对应。
- 子代数总是存在;
- 最大的子代数是 V 本身;
- 如果 V 中所有的 代数常数 构成的集合 B 对所有的运算 是封闭的，则 B 构成了 V 的最小子代数;
- 最大和最小子代数称为平凡的子代数;
- 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成的子代数称为 V 的真子代数。
- 因子代数/积代数：
- 设 V1 = ⟨A,◦⟩和 V2 = ⟨B,∗⟩是同类型的代数系统，◦和∗ 为二元运算。在集合 A × B 上定义如下的二元运算 • :∀⟨a1, b1⟩, ⟨a2, b2⟩ ∈ A × B, ⟨a1,b1⟩ • ⟨a2,b2⟩ = ⟨a1 ◦ a2,b1 ∗ b2⟩，称 V = ⟨A×B,•⟩为 V1 和 V2 的积代数，记为 V1 ×V2。这 时也称 V1 和 V2 为 V 的因子代数。
- 即第一个数来自第一个集合，第二个数来自第二个集合，两组集合内的积，分别按照集合定义得运算运算，得到新的积
- 保持交换律 (结合律，幂等律)
- 保持零元
- 保持可逆和逆元
- 不保持消去律。
- 设 V1 = ⟨A,◦⟩和 V2 = ⟨B,∗⟩是同类型的代数系统，◦和∗ 为二元运算。在集合 A × B 上定义如下的二元运算 • :∀⟨a1, b1⟩, ⟨a2, b2⟩ ∈ A × B, ⟨a1,b1⟩ • ⟨a2,b2⟩ = ⟨a1 ◦ a2,b1 ∗ b2⟩，称 V = ⟨A×B,•⟩为 V1 和 V2 的积代数，记为 V1 ×V2。这 时也称 V1 和 V2 为 V 的因子代数。
- Isomorphism
CH10
- 半群：符合二元运算且可结合
- 设 V = ⟨S, ◦⟩ 是代数系统，◦ 为二元运算，如果 ◦ 是可结合的，则称 V 为半群;
- 幺半群或独异点：有单位元的半群
- 设 V = ⟨S,◦⟩是半群，如果 e ∈ S 是关于◦运算的单位元，则称 V 是幺半群或独异点。有时也将独异点记 为 V = ⟨S,◦,e⟩;
- 群：有单位元，可结合，有逆元
- 设 G 为有限群，，则 当且仅当 a 为一阶元或二阶元。
- 设 G 为有限群，则 G 中阶大于 2 的元素有偶数个。
- 置换群：双射 S → S
- 对称群：所有 n 元置换构成的集合 S，有 3! 个
- 轮换：σ(i1) = i2,σ(i2) = i3,…,σ(ik−1) = ik,σ(ik) = i1 (1 < k < n), k 阶轮换，(i1, i2, … , ik)
- 对换：k = 2
- 子群格：设 G 为群，令 S = {H | H 是 G 的子群} 是 G 的所有子群的 集合，在 S 上定义如下关系 R: ∀A, B ∈ S, ARB ⇔ A 是 B 的子群 则 ⟨S, R⟩ 构成偏序集，成为群 G 的子群格。
- Group
- Coset
- Ring
CH11
格和布尔代数
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格：设 ⟨S, ⪯⟩ 是偏序集。如果 ∀x, y ∈ S，{x, y} 都有 最小上界 和 最大下界，则称 S 关于偏序 ⪯ 作成一个格;
- 把求 {x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧。
- 偏序关系: 自反的，反对称的，传递的;
- 偏序关系的哈斯图。
- 对偶命题：
=,⪯,⪰,∨,∧→=,⪰,⪯,∧,∨同样成立。- 交换律：a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a
- 结合律：(a∨b)∨c = a∨(b∨c),(a∧b)∧c = a∧(b∧c)
- 幂等率：a ∨ a = a, a ∧ a = a
- 吸收律：a∨(a∧b) = a,a∧(a∨b) = a
- a⪯b⇔a∧b=a⇔a∨b=b
- 若 a ⪯ b 且 c ⪯ d，则 a ∧ c ⪯ b ∧ d, a ∨ c ⪯ b ∨ d
- a∨(b∧c) ⪯ (a∨b)∧(a∨c)
子格：设⟨L,∧,∨⟩是格，S 是 L 的非空子集。若 S 关于 L 中的运 算∧和∨仍构成格，则称 S 是 L 的子格。
分配格：a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) , a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
- 判定：设 L 是格。L 是分配格当且仅当 L 不含有与钻石格或五角格同构的子格。（画哈斯图）
- 小于 5 元的格都是分配格;
- 任何一条链都是分配格。
有界格：设 L 是格，若 L 存在全下界和全上界，则称 L 为有界格， 一般将有界格记为 ⟨L, ∧, ∨, 0, 1⟩。
- 全上界：若存在 b ∈ L 使得∀x ∈ L 有 x ⪯ b，则称 b 为 L 的全上界;
- 全下界：若存在 a ∈ L 使得∀x ∈ L 有 a ⪯ x，则称 a 为 L 的全下界;
- 若格 L 存在全下界或全上界，一定是唯一的;
- 一般将格的全下界记为 0，全上界记为 1。
- a ∧ 0 = 0, a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a, a ∨ 1 = 1
- a1 ∧a2 ∧···∧an 是 L 的全下界，a1 ∨a2 ∨···∨an 是 L 的全上界;
- 0 是∧运算的零元，∨运算的单位元;
- 1 是∨运算的零元，∧运算的单位元;
- 补元：对 , 若存在 , a ∧ b = 0 和 a ∨ b = 1 成立，则称 b 是 a 的补元。
- 有界分配格下存在补元即为唯一补元
- 有补格：设 ⟨L, ∧, ∨, 0, 1⟩ 是有界格，若 L 中 所有 的元素都有补元存在，则称 L 为有补格。
布尔代数：如果一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。 布尔代数记为 ⟨B, ∧, ∨,′ , 0, 1⟩，其中 ′ 为求补运算。
- ∀a ∈ B，(a′)′ = a;
- ∀a,b ∈ B，(a∧b)′ = a′ ∨b′，(a∨b)′ = a′ ∧b′。
- (1) 交换律:∀a,b ∈ B，有 a∗b = b∗a，a◦b = b◦a;
- (2) 分配律:∀a,b,c ∈ B 有 a∗(b◦c) = (a∗b)◦(a∗c)，a◦(b∗c) = (a◦b)∗(a◦c);
- (3) 同一律: 存在 0,1 ∈ B，使得∀a ∈ B 有 a∗1 = a，a ◦ 0 = a;
- (4) 补元律:∀a ∈ B，存在 a′ ∈ B 使得 a∗a′ = 0，a◦a′ = 1，则 ⟨B, ∗, ◦⟩ 是一个布尔代数。
- 原子 a：L 是格，0 ∈ L，若∀b ∈ L 有 0 ≺ b ⪯ a ⇒ b = a, 原子是覆盖最小元的那些元素
- 有限布尔代数的表示定理: 设 B 是有限布尔代数，A 是 B 的全体原子构成的集合，则 B 同构于 A 的幂集 代数 P(A);
集合代数：设 B 为任意集合。B 的幂集格 ⟨P(B), ∩, ∪, ∼, ∅, B⟩ 构成布尔代数，称为集合代数。
完全格：格的每个非空子集均有上下确界，则成为完全格。
有界格：若格<L, ≤>有最小元 0 和最小元 1(不记得了的话往上翻), 则成为有界格, 记作<L, ≤, 0, 1>, 完全格必然有最小元和最大元。
补元：有界格<L, ≤, 0, 1>中, 对任意元素 a∈L, 若存在 b∈L, 并且 a∧b = 0, a∨b = 1, 则称 b 是 a 的补元，补元不一定唯一。
有补格：有界格中，每一个元素 都有补元，则称为有补格。
布尔代数的一种定义：如果一个格是 有补分配格，那么称为布尔代数。